続・複利計算で便利な公式

前回は、

が成り立つとき、rが十分に小さければ、nrが72/100の前後5%以内に収まることを示しました。しかし、これではrが小さいときのことしかわかってないし、rの変化に対してどのように誤差が変化していくかの分析ができません。もちろん、ほとんど手計算ででき（log2の値を知っておく必要はあるけれども）、数学的にシンブルで綺麗なので定性的な把握をしやすいというメリットはあります。ただ、コンピュータで数値解析的に解けば、実際の値を定量的に調べることができるのでこちらの方が実用的だといえます。
ということでscilabという数値計算用ソフトで上式を解いてみました。rの値を変えていき、そのときのnrの値と合わせてプロットしたのが下のグラフです。（なんか色が勝手に変わってしまって見にくくなってしまってすみません）

なんと見事にnrはrのほぼ1次関数（青のライン）になっています。これだけ綺麗な1次関数なら、近似でもうまく求める手段がありそうです。が、とりあえずここでは一旦それは置いといて、少しこのグラフを分析してみます。まず、緑の（太めの横の）ラインはnr=72/100のラインです。水色はその前後5%ライン、赤色は同じく10%ラインです。r=0.0785のときにnr=72/100（誤差0）、r<0.187のときに誤差5%以内 r<0.298のときに誤差10%以内が言えます。
よって、72の公式は、利率が30%のときでも誤差が1割程度であることから、かなり精度の高い公式と言えそうです。